Orbitalmodell Erklärung

1.3
Orbitalmodell

Schon ca. 10 Jahre nach der Veröffentlichung
des Bohrschen Atommodells
erkannte man, daß man damit nur ungenau die Eigenschaften
der Atome beschreiben konnte. Mehrere Entdeckungen konnten mit dem
Bohrmodell nicht in Einklang gebracht werden.

Louis
deBroglie
postulierte 1924
als erster, daß genau so wie Wellen Teilchencharakter
haben (Photonen) Teilchen auch Welleneigenschaften haben
müssen:

l = h / mv

Jedes Teilchen mit einer Masse besitzt eine Wellenlänge,
sogar ein Elektron. Jedoch die Wellenlänge makroskopische Objekte
wie z.B einem Golfball ist so klein, daß man sie nicht messen
kann.

Die Behauptung deBroglies wurde 1927 durch Elektronenbeugung
bei Graphit bewiesen. Man nennt diese gemeinsamen Eigenschaften
von Wellen und Teilchen Welle-Teilchen-Dualismus.

debrow

Oben sind stehende Wellen mit n =
2 und 3 dargestellt. Man darf sich nicht vorstellen, daß sich
nun ein kleines Teilchen derartig bewegt. Das Elektron stellt
die gesamte Welle dar.

Berechnungsbeispiel


1. Berechnung der Wellenlänge
eines Elektrons
(z.B. in
einem Teilchenbenschleuniger)

Lösung

Die Energie W des Elektrons
und die Wellenlänge der Strahlung stehen in einem
Zusammenhang, der durch die Plancksche Gleichung beschrieben
wird: IMG00009.
Nach der Beschleunigung im elektrischen Feld der besitzen
die Elektronen die Energie W = e U.
Durch Gleichsetzen erhält man: IMG00014
oder IMG00015
x 10 -6.
( e die elektrische Ladung des Elektrons und U die Potentialdifferenz,
also die Spannung)

In Teilchenbeschleunigern besitzen
Elektronen einen Energie von ca. 100GeV.
Ladung des q = 1.6022 x 10-19 Coulomb; h
= 6.626 x 10-34 J s

Einsetzen ergibt:
l = ( 6.626 x 10-34 x 3 x 108
ms-1)/1.6022 x 10-19 x 100 x 109 eV
=
1,3 .10-17 m
.

Diese Erkenntnis
wird auch in Elektronenmikroskopen ausgenützt, wo statt
Licht Elektronen verwendet werden, die eine wesentlich geringere
Wellenlänge besitzen und somit eine höhere Auflösung
erzielt wird. Bei einer Beschleunigungsspannung der Elektronen von
100 KeV erreicht man eine Wellenlänge von 1,24 x 10 -11
m also 0,124 pm. Damit können Moleküle untersucht
werden.

Nun konnte man den Widerspruch, warum Elektronen
auf ihrer Bahn nicht strahlen
erklären.
Ein Elektron darf demnach den Atomkern nur auf solchen Bahnen
umkreisen, deren Umfang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlänge
darstellt
. Auf diesen Bahnen entstehen dann stehende Elektronenwellen.
Dies bedeutet, daß weder Energie noch Masse transportiert
wird. Damit kann das Elektron auf dieser Bahn nicht strahlen.

Werner Heisenberg (1901-1976) machte ebenfalls
eine Entdeckung, die wesentlich zur Entwicklung einer neuen Theorie
der Quantenmechanik und neuen Sichtweise des Atomaufbaus
beitrug. 1927 formulierte er, daß

Position
und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig genau gemessen werden
können, sondern nur mit einer gewissen Unschärfe
.

Man nennt deshalb diese Beziehung die Heisenbergsche
Unschärferelation
.

huns
Dx
= Unschärfe der Position
Dp = Impulsunschärfe

 

Berechnungsbeispiel


1. Berechnung der Unschärfe
eines Elektrons

Ein Elektron hat eine Energie von 1 eV; seine Geschwindigkeit
v = 6 x 10 5 m/s und sein Impuls p = 5 x 10 -25
kg m/s.

Lösung

Wenn es irgendwo im Atom des Durchmessers
10 – 10 m lokalisiert ist beträgt die
Unschärfe
seines Impulses 5×10-25
Kg m/s,
so
groß wie sein gesamter Impuls.

Nehmen wir z.B. ein Elektron.
Wir könnten versuchen seine Position durch elektromagnetische
Strahlung zu bestimmen. Da Elektronen klein sind, muß die
Wellenlänge klein sein, um die Elektronen zu lokalisieren.
Jedoch kürzere Wellenlängen bedeuten höhere Energie
und diese würde den Impuls um so mehr verändern. Deshalb
verändert jeder Versuch die Lage eines Elektrons zu bestimmen
seine Geschwindigkeit. Umgekehrt läßt uns die Bestimmung
der Geschwindigkeit eines Elektrons im Ungewissen über seine
genaue Position.

Folgerung:
Man
kann nichts über eine genaue Bahn des Elektrons
(wie
im Bohrschen Modell) aussagen,
sondern nur eine Wahrscheinlichkeit seines Aufenthaltsortes annehmen,
die berechnet werden kann.

Der österreichische
Mathematiker Erwin Schrödinger
griff nun 1927 die Materiewellen
deBroglies auf und berechnete, wie groß die Wahrscheinlichkeit
ist, ein bestimmtes Teilchen an einem Punkt zu einer bestimmten
Zeit in einem Experiment anzutreffen. Da Elektronen sich wie Wellen
verhalten können, verwendete er eine dreidimensionale Wellengleichung
(x, y, z).

y (x,y,z,t)

y(x,y,z,t)
ist die wahrscheinliche Amplitude eines Teilchens

Schrödinger-Gleichung:
schroeqn

E = Energie
des Teilchens; V beschreibt
Wechselwirkungen mit anderen Partikeln

Lösungen dieser Gleichung können
so formuliert werden:

y
= y
n,l,m,s
(x,y,z)

Sie liefern wahrscheinliche Aufenthaltsräume,
Orbitale genannt, abhängig
von den Quantenzahlen. Die Wellenfunktion mit dem niedrigsten Energiegehalt
beim Wasserstoff ist das 1 s -Orbital.
Zur Erinnerung: die Nebenquantenzahl-Werte
l = 0
bedeuten
s-Zustand;
l = 1
p-Zustand;
l = 2 d
-Zustand
und
l = 3
f-Zustand.

1swav

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
für das 1s-Elektron des H-Atoms ist oben dargestellt.
Die Farbintensität in der graphischen Darstellung gibt die
Wahrscheinlichkeit der Elektronenposition an. (Elektronendichte).
Die Wahrscheinlichkeit ist in der Nähe des Kerns am höchsten.
Die maximale radiale Wahrscheinlichkeit (= der Abstand, bei dem
das Elektron am wahrscheinlichsten sich aufhält
) ist für
das 1s-Elektron 5.29 x 10-2 nm vom Kern. Interessanterweise ist
dies genau der Bohrsche Atomradius für die innerste Bahn.

Da man die exakte Größe
des Raumes nicht festlegen kann, gibt man oft für den Radius
des kugeligen Raums des 1 s Orbitals denjenigen an, bei dem
90% der Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt gegeben ist.
(rechts oben)

Die höheren s-Orbitale
besitzen Knotenebenen, insgesamt sind sie kugelig und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
verschiebt sich weiter vom Kern weg.

sorb

Dasselbe ergibt sich für die
p-Orbitale. Der wahrscheinlichste
Aufenthaltsort der p-Elektronen ist im Gegensatz zu den s-Elektronen
auf 2 Seiten des Kerns.(siehe unten) Als 3D-Form ergibt sich eine
Hantel
. Diese kann in die 3 Richtungen des Raums orientiert
sein (px, py, pz)

Die radiale Wahrscheinlichkeit anderer
Elektronenzustände ist in Abb. 1.3.8
wiedergegeben. Die entsprechenden 2D-Darstellungen sind rechts zu
sehen.

orb2d

Die entsprechenden Quantenzahlen für
die 2D-Abbildung rechts oben ist der Tabelle zu entnehmen:

1s 2s 2p, m=0 2p, m=1 3s 3p, m=0 3p, m=1 3d, m=0 3d, m=1 3d, m=2 4s 4p, m=0 4p, m=1 4d, m=0 4d, m=1 4d, m=2 4f, m=0 4f, m=1 4f, m=2 4f, m=3 5s 5p, m=0 5p, m=1 5d, m=0 5d, m=1

In Abb.1.3.10
sind die 3D-Projektionen der 2 p, 3 d und 4 f-Orbitale abgebildet.

2porb

3dorb

forb


Abb.1.3.1

Louis
DeBroglie
1892 – 1987

dbrogli

Nobelpreis 1929 in Physik

 


Abb.1.3.2

stehende Wellen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Abb.1.3.3

Werner Heisenberg
1901-1976

heisenb

Nobelpreis Physik 1932

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Abb.1.3.4

Erwin Schrödinger
1887-1961

schroed

Nobelpreis Physik 1933

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Abb.1.3.5

1s-Orbital (siehe auch links)

sorb1

 

 

 

 

 

 

 

 


Abb.1.3.6

s -Orbitale

 

 


Abb.1.3.7

2p-Orbitale

allep

 


Abb.1.3.8

Alle Orbitale in 2D

 


Abb.1.3.9

s -Orbitale

rwahr

 


Abb.1.3.10

2p – 4f – Orbitale

 

 

 

 

 

Weiterführende Quellen:

Orbitalmodell: http://hmchemdemo.clt.binghamton.edu/zumdahl/docs/chemistry/07atomstructure/library/0705.htm

Quantenmechanik: http://oldsci.eiu.edu/physics/DDavis/1160/Ch29Atm/AtmQM.html

Schrödinger Wellenfunktion: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html
und
http://itl.chem.ufl.edu/4412_aa/radwfct.html

Orbitale: http://www.orbitals.com/orb/orbtable.htm
(Freeware
: Orbital Viewer) und http://iff.physik.unibas.ch/~florian/HAtom/HAtom.html

Atomarchiv: http://www.atomicarchive.com/main.shtml

Interaktive Physik: http://www.lightlink.com/sergey/java/index.html

Hat dir dieser Artikel geholfen?

Comments on this entry are closed.